Regres do średniej i jego pułapki

Po okresach spadków przyjdą wzrosty. Tak pocieszają się inwestorzy giełdowi, którzy zainwestowali w niewłaściwym momencie, czyli zazwyczaj na górce. W sumie nie jest żadnym zaskoczeniem, że okres prosperity musi się kiedyś skończyć, robiąc miejsce dla kryzysów i finansowych dołków. Zaskoczeniem jest jednak pewna prawidłowość, która stoi za pozornie chaotycznymi i losowymi procesami.

Czy to na giełdzie, czy w naturze często spotykanym, choć szerzej mało znanym schematem, jest krzywa Gaussa¹, zwana też rozkładem normalnym. A ta z kolei ma ścisły związek z regresem do średniej. Ale od początku.

Rozkład normalny to opis sytuacji, w której dane zebrane z poczynionych obserwacji tworzą symetryczną reprezentację graficzną wokół średniej, czyli wyniku przeciętnego. Tych powinno być jak najwięcej, im bliżej środka wykresu, tym większe zagęszczenie danych typowych. Natomiast wszelkie anomalie, odchylenia od średniej, będą występować coraz rzadziej wraz z oddalaniem się od średniej. Na stronie "Maths Is Fun"² można samemu w łatwy sposób sprawdzić i przekonać się, na jakiej zasadzie działa wspomniana zasada, uruchamiając program o nazwie Quincunx.

Francis Galton, twórca "teoretycznej koncepcji korelacji i regresji do średniej"³, już w XIX wieku zwracał uwagę, że muszą być spełnione dwa warunki, byśmy mogli zauważyć w danych rozkład normalny. Jego zdaniem im więcej obserwacji, i danych, tym lepiej dla końcowych wyników, które wraz z przyrostem obserwacji coraz bardziej zaczynają przypominać odwrócony dzwon (stąd nazwa krzywa dzwonowa). A drugi warunek brzmi: "obserwacje muszą być niezależne, podobnie jak rzuty kostką - nie można odnaleźć porządku tam, gdzie na początku nie ma chaosu"⁴. Wspomniany wyżej program Quincunx idealnie ilustruje tę zasadę: im więcej prób, tym więcej danych zaczyna się gromadzić wokół wartości środkowych, a wartości odbiegające od średniej zaczynają się układać symetrycznie po obu bokach.

• Rozkład normalny można odnaleźć w wielu zaskakujących miejscach i dziedzinach. W medycynie - w przypadku pomiaru ciśnienia krwi, w biznesie - w przypadku pomiarów produktów opuszczających linie produkcyjne, w edukacji - w przypadku statystycznego ujmowania ocen z testów, a także obecności uczniów na lekcjach.

Jakie jednak głębsze znaczenie posiada owa niezwykle skuteczna zasada matematyczna? Peter Bernstein podaje nam w książce "Przeciw bogom. Niezwykłe dzieje ryzyka"⁵ w miarę pełną i przekonywującą odpowiedź na tak postawione pytanie. Jego zdaniem, bez rozkładu normalnego "nie dysponowalibyśmy żadną systematyczną metodą rozstrzygania, czy należy podjąć pewną ryzykowną decyzję; nie wiedzielibyśmy również, jak oszacować ryzyko, przed którym stoimy" ⁶. Ale to nie wszystko. Bernstein przypomina, przy użyciu barwnych przykładów, że bez niego "nie umielibyśmy oszacować prawdopodobieństwa wystąpienia pewnego zdarzenia - deszczu, śmierci 85-letniego człowieka czy 20-procentowego spadku cen na rynku akcji"⁷. W zasadzie jego główną rolę można określić jako wyłapywanie albo usterek, albo odchyleń od normy.

Jednak z rozkładem normalnym wiążą się też pułapki. Jedna z podstawowych dotyczy istoty owej normy, czyli wartości średniej. Przecież wraz ze zmieniającymi się warunkami makroekonomicznymi, wraz z nowo uchwalonymi przepisami czy ustawami, zmienia się wiele parametrów, od których zależała owa norma w wielu branżach czy na rynkach finansowych. Peter Bernstein kwituje to następująco: "sama średnia nie musi być stałą wartością, tak że wczorajsza norma może ustąpić dzisiaj miejsca nowej normie, o której nic nie wiemy"⁸. A w konsekwencji "postępujemy bardzo ryzykownie, przyjmując założenie, że pomyślna koniunktura czeka na nas tuż za rogiem, tylko dlatego, że zawsze mogliśmy tam ją spotkać"⁹.

Autor "Przeciw bogom" wskazuje jeszcze na inne zagrożenie związane z tą zasadą matematyczną. Polega ona na tym, iż regresja do średniej może okazać się bardzo powolnym procesem, który może ulec zahamowaniu lub zatrzymaniu w wyniku nagłego, nieprzewidzianego zdarzenia. A więc z jednej strony krzywa Gaussa to niezwykle przydatne narzędzie, pod warunkiem, że nie będziemy ślepo ufaćkażdej normie, którą zaczniemy analizować.

Wojciech Głąbiński

• Wojciech Głąbiński

  Niezależny autor specjalizujący się w edukacji finansowej. Ponadto pisze o najnowszych odkryciach naukowych z takich dziedzin jak ekonomia behawioralna, neuroekonomia czy psychologia pieniądza. Autor poradnika finansowego "Ekonomia Przetrwania" (Złote Myśli, 2010), obecnie prowadzi dwa blogi: www.edukacjafinansowadlarodzicow.pl oraz www.ekonomiaprzetrwania.pl.

Źródła:

1. pl.wikipedia.org/wiki/Rozklad_normalny
2. www.mathsisfun.com/data/quincunx.html
3. pl.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton
4. "Przeciw bogom. Niezwykłe dzieje ryzyka", Peter Bernstein, Kurhaus Publishing, 2013, str. 212.
5. "Przeciw bogom. Niezwykłe dzieje ryzyka", Peter Bernstein, Kurhaus Publishing, 2013.
6-7. ibidem, str. 211.
8-9. ibidem, str. 256.

Czytaj także:

Kiedy intuicja może pomóc w podjęciu dobrej decyzji?

O strategiach planowania